Problèmes type bac

Le fonctionnement de certaines centrales géothermiques repose sur l'utilisation de la chaleur du sous-sol. Pour pouvoir exploiter cette chaleur naturelle, il est nécessaire de creuser plusieurs puits suffisamment profonds.

Lors de la construction d'une telle centrale, on modélise le tarif pour le forage du premier puits par la suite \( (u_n) \), définie pour tout entier naturel \( n \) non nul, par : \[ u_n = 2\:500 \times 1\mbox{,}005^{n -1} \] où \( u_n \) représente le coût en euros du forage de la \( n \)-ième dizaine de mètres.
On a ainsi \( u_1 = 2500 \) et \( u_2 = 2\:512\mbox{,}5 \), c'est-à-dire que le forage des dix premiers mètres coûte 2500 euros, et celui des dix mètres suivants coûte \( 2\:512\mbox{,}5 \) euros.

Soit \( n \) un entier naturel non nul.

On fait fonctionner l'algorithme précédent en donnant \( 5 \) comme valeur à \( n \).

On note \( S_n = u_1 + u_2 + ... + u_n \) la somme des \( n \) premiers termes de la suite \( (u_n) \), \( n \) étant un entier naturel non nul.
On admet que : \[ S_n = -\:500\:000 + 500\:000 \times 1\mbox{,}005^{n} \]
Le budget consenti pour le forage du premier puits est de \( 75\:000 \) euros. On souhaite déterminer la profondeur maximale du puits que l'on peut espérer avec ce budget.